明史 上

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如黃道半弧背一度，求赤道積度。術曰：“置半徑六十零度八十七分五十秒，即黃赤道大弦。內減黃道矢八十二秒余六十零度八六六八，為黃赤道小弦。置黃赤道小弦，以黃赤道大股五十六度零二六八乘之，得三千四百一十零度一七二零三零二四為實，以黃赤道大弦六十零度八七五為法，實如法而一，得五十六度零一分九十二秒，為黃赤道小股。又為赤道小句。置矢度八十二秒自之，得六十七微，以全徑一百二十一度七五為法，除之得五十五纖，為黃道平半背弦差。置黃道半弧弦一度，內減黃道半背弦差，余為半弧弦，因因差在微以下不減，即用一度為半弧弦。置黃道半弧弦一度自之，得一度為股幕。黃赤道小股五十六度零一矣二自之，得三千一百三十八度一五零七六八六四為句幕。二幕並得三千一百三十九度一五零七六八六四為弦實，平方開之，得五十六度零二八一，為赤道小弦。置黃道半弧弦一度，以半徑即赤道大弦乘之，得六十零度八七五為實，以赤道小股五十六度零二八一為法除之，得一度零八分六十五秒，為赤道半弧弦。置黃赤道小股五十六度零一九二，又為赤道小句。以赤道大弦半徑六十零度八七五乘之，得三千四百一十零度一六八八為實，以赤道小弦為法除之，得六十零度八十六分五十三秒，為赤道橫大句。置半徑六十零度八十七分五十秒，內減赤道大句六十零度八十六分五十三秒，余九十七秒，為赤道橫弧矢。置赤道橫弧矢九十七秒自之，得九十四微零九，以全徑為法除之，得七十纖，為赤道背弦差。置赤道半弧弦一度零八分六十五秒，加赤道背弦差，為赤道積度，今差在微已下不加，即用半弧弦為積度。

凡求得赤道積度一度零八分六十五秒。余度各如上法，求到各黃道度下赤道積，兩數相減，即得黃赤道差，乃至後之率。其分後，以赤道度求黃道，反此求之，其數並同。

▲黃赤道相求弧矢諸率立成上

表格略

▲黃赤道相求弧矢諸率立成下

表格略

按郭敬創法五端，內一曰黃道差，此其根率也。舊法以一百一度相減乘。《授時》立術，以句股、弧矢、方圓、斜直所容，求其數差，合於渾象之理，視古為密。顧《至元歷經》所載略，又誤以黃道矢度為積差，黃道矢差為率，今正之。

▲割圓弧矢圖

凡渾圓中剖，則成平圓。任割平圓之一分，成弧矢形，皆有弧背，有弧弦，有矢。剖弧矢形而半之，則有半弧背，有半弧弦，有矢。因弦矢句股形，以半弧弦為句，矢減半徑之餘為股，半徑為弦。句股內成小句股，則有小句、小股、小弦、而大小可互求，平側可互用，渾圓之理，斯為密近。

平者為赤道，斜者為黃道。因二至黃道赤之距，生大句股。因各度黃赤之距，生小句股。

外大圓為赤道。從北極平視，則黃道在赤道內，有赤道各度，即各有其半弧弦，以生大名股。又各有其相當之黃道半弧弦，以生小句股。此二者皆可互求。

按舊史無圖，然表亦圖之屬也。今句股割弧矢之法，實為歷家測算之本。非圖不明，因存其要者數端。

▲黃赤道內外度

推黃道各度，距赤道內外及去極遠近術。置半徑內減去赤道小弦，余為赤道二弦差。又為黃赤道小弧矢，又為內外矢，又為股弦差。置半徑內外減去黃道矢度，余為黃赤道小弦，以二至黃赤道內外半弧弦乘之為實，以黃赤道大弦為法，即半徑。除之為黃赤道小弧弦。即黃赤道內外半弧弦，又為黃赤道小句。置黃赤道小弧矢自之，即赤道二弦差。以全徑除之，為半背弦差。以差加黃赤道小弧弦為黃赤道小弧半背，即黃赤道內外度。置黃赤道內外度，視在盈初縮末限以加，在縮初盈天限以減，皆加減象限度，即各得太陽去北極度分。

如冬至後四十四度，求太陽去赤道內外及去極度。術曰：“置半徑六十零度八十七分半，內減黃道四十四度下赤道小弦五十八度三十五分六十九秒，余二度五十一分八十一秒，為黃赤道小弧矢。即內外矢。置半徑六十零度八七五，內減黃道四十四度，矢一十六度五十六分八十二秒，余四十四三十零分六十八秒，為黃赤道小弦。置黃赤道小弦，以二至黃赤道內外半弧弦二十三度七十一分乘之，得一千零五十零度五十一分四二三八為實，以黃赤道大弦六十零度八七五為法除之，得一十七度二十五分十九秒為黃赤道小弧弦。即內外半弧弦。置黃赤道小弧矢二度五十一分八十一秒自之為實，以全徑地百二十一度七十五分除之，得五分二十一秒為背弦差，以差加黃赤道小弧弦一十七度二十五分六十九秒，得一十七度三十零分八十九秒，為二至前後四十四度，太陽去赤道內外度。置象限九十一度三十一分四十三秒七五，以內外度一十七度三零八九加之，得一百零八度六十二分三十二秒七五，為冬至後四十四度太陽去北極度。

▲黃道每度去赤道內外及去北極立成

表格略

▲白道交周

推白赤道正交，距黃赤道正交北極數。術曰：“置實測白道出入黃道內外六度為半徑弧弦，又為大圖弧矢，又為股弦差。置半徑六十零度七五自之，得三千七百零五度七六五六二五，以矢六度而一，得六百一十七度六十三分為股弦和，加矢六度，共六百二十三度六十三分為大圓徑。依法求得容闊五度七十分，又為小句。又以二至出入半弧弦二十三度七十一分為大句。以大句為法，除大股五十六度零六分五十秒，得二度三十七分就整為度差。以度差乘小句，得小股一十三度四十七分八十二秒，為容半長。置半徑六十零度八七五為大弦，以乘小句五度七十分為實，以大句二十三度七十一分為法除之，得一十四度六十三分為小弦，又為白赤道正交，距黃赤道正交半弧弦。　依法求行半弧背一十四度六十六分，為白赤道正交距黃赤道正交極婁數。 　　

志第九 歷三

▲大統曆法一下法原

日月五星平定三差

太陽盈縮平立定三差之原。

冬至前後盈初縮末限，八十八日九十一刻，就整。離為六段，每段各得一十四日八十二刻。就整。各段實測日躔度數，與平行相較，以為積差。

積日 積差

第一段 一十四日八二 七千零五十八分零二五

第二段 二十九日六四 一萬二千九百七十六三九二

第三段 四十四日四六 一萬七千六百九十三七四六二

第四段 五十九日二八 二萬一千一百四十八七三二八

第五段 七十四日一零 二萬三千二百七十九九九七

第六段 八十八日九二 二萬四千零二十六一八四

各置其段積差，以其段積日除之，為各段日平差。置各段日平差，與後段日平差相減，為一差。置一差，與後段一差相減，為二差。

日平差 一差 二差

第一段 四百七十六分二五 三十八分四五 一分三八

第二段 四百三十七分八零 三十九分八三 一分三八

第三段 三百九十七分九七 四十一分二一 一分三八

第四段 三百五十六分七六 四十一分五九 一分三八

第五段 三百一十四分一七 四十三分九七

第六段 二百七十零分二零